MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Pentru n natural, se consideră suma Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnnS_n = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + \dots + nC_n^n. Demonstrați că Sn=n⋅2n−1S_n = n \cdot 2^{n-1} și apoi determinați n pentru care Sn=192S_n = 192.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosim identitatea combinatorică kCnk=nCn−1k−1kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1} pentru orice 1≤k≤n1 \leq k \leq n.
24 puncte
Aplicând identitatea, avem Sn=∑k=1nkCnk=∑k=1nnCn−1k−1=n∑j=0n−1Cn−1j=n⋅2n−1S_n = \sum_{k=1}^{n} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} nC_{n-1}^{k-1} = n \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = n \cdot 2^{n-1}, unde am făcut schimbarea de variabilă j=k−1j = k-1.
32 puncte
Punem condiția n⋅2n−1=192n \cdot 2^{n-1} = 192.
41 punct
Rezolvăm ecuația: 192=64×3=26×3192 = 64 \times 3 = 2^6 \times 3, deci n⋅2n−1=6⋅25n \cdot 2^{n-1} = 6 \cdot 2^{5}, astfel n=6n=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.