Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile A(1,2), B(4,6), C(6,3).
a) Calculați măsurile unghiurilor triunghiului.
b) Determinați aria triunghiului.
c) Aflați raza cercului circumscris triunghiului.
Rezolvare completă 10 puncte · 5 pași 1 2 puncte
Vectorii laturilor: A B ⃗ = ( 4 − 1 ) i ⃗ + ( 6 − 2 ) j ⃗ = 3 i ⃗ + 4 j ⃗ \vec{AB} = (4-1)\vec{i} + (6-2)\vec{j} = 3\vec{i} + 4\vec{j} A B = ( 4 − 1 ) i + ( 6 − 2 ) j = 3 i + 4 j A C ⃗ = ( 6 − 1 ) i ⃗ + ( 3 − 2 ) j ⃗ = 5 i ⃗ + 1 j ⃗ \vec{AC} = (6-1)\vec{i} + (3-2)\vec{j} = 5\vec{i} + 1\vec{j} A C = ( 6 − 1 ) i + ( 3 − 2 ) j = 5 i + 1 j ∣ A B ⃗ ∣ = 3 2 + 4 2 = 5 |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 ∣ A B ∣ = 3 2 + 4 2 = 5 ∣ A C ⃗ ∣ = 5 2 + 1 2 = 26 |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} ∣ A C ∣ = 5 2 + 1 2 = 26 2 2 puncte
Produsul scalar: A B ⃗ ⋅ A C ⃗ = ( 3 i ⃗ + 4 j ⃗ ) ⋅ ( 5 i ⃗ + 1 j ⃗ ) = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 = 19 \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3\vec{i} + 4\vec{j}) \cdot (5\vec{i} + 1\vec{j}) = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 19 A B ⋅ A C = ( 3 i + 4 j ) ⋅ ( 5 i + 1 j ) = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 = 19 cos A = A B ⃗ ⋅ A C ⃗ ∣ A B ⃗ ∣ ∣ A C ⃗ ∣ = 19 5 26 \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{19}{5 \sqrt{26}} cos A = ∣ A B ∣∣ A C ∣ A B ⋅ A C = 5 26 19 3 2 puncte
Sinusul unghiului A: sin A = 1 − cos 2 A = 1 − ( 19 5 26 ) 2 = 1 − 361 25 ⋅ 26 = 650 − 361 650 = 289 650 = 17 650 = 17 5 26 \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left( \frac{19}{5\sqrt{26}} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{361}{25 \cdot 26}} = \sqrt{\frac{650-361}{650}} = \sqrt{\frac{289}{650}} = \frac{17}{\sqrt{650}} = \frac{17}{5\sqrt{26}} sin A = 1 − cos 2 A = 1 − ( 5 26 19 ) 2 = 1 − 25 ⋅ 26 361 = 650 650 − 361 = 650 289 = 650 17 = 5 26 17 650 = 5 26 \sqrt{650} = 5\sqrt{26} 650 = 5 26 4 2 puncte
Aria triunghiului: A = 1 2 ∣ A B ⃗ ∣ ∣ A C ⃗ ∣ sin A = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 26 ⋅ 17 5 26 = 17 2 \mathcal{A} = \frac{1}{2} |\vec{AB}| |\vec{AC}| \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{26} \cdot \frac{17}{5\sqrt{26}} = \frac{17}{2} A = 2 1 ∣ A B ∣∣ A C ∣ sin A = 2 1 ⋅ 5 ⋅ 26 ⋅ 5 26 17 = 2 17 5 2 puncte
Pentru raza cercului circumscris, folosim teorema sinusurilor: 2 R = a sin A 2R = \frac{a}{\sin A} 2 R = s i n A a a = ∣ B C ∣ a = |BC| a = ∣ BC ∣ B C ⃗ = ( 6 − 4 ) i ⃗ + ( 3 − 6 ) j ⃗ = 2 i ⃗ − 3 j ⃗ \vec{BC} = (6-4)\vec{i} + (3-6)\vec{j} = 2\vec{i} - 3\vec{j} BC = ( 6 − 4 ) i + ( 3 − 6 ) j = 2 i − 3 j a = ∣ B C ⃗ ∣ = 2 2 + ( − 3 ) 2 = 13 a = |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} a = ∣ BC ∣ = 2 2 + ( − 3 ) 2 = 13 2 R = 13 17 5 26 = 13 ⋅ 5 26 17 = 5 13 ⋅ 26 17 = 5 ⋅ 13 2 17 = 65 2 17 2R = \frac{\sqrt{13}}{\frac{17}{5\sqrt{26}}} = \sqrt{13} \cdot \frac{5\sqrt{26}}{17} = \frac{5 \sqrt{13 \cdot 26}}{17} = \frac{5 \cdot 13\sqrt{2}}{17} = \frac{65\sqrt{2}}{17} 2 R = 5 26 17 13 = 13 ⋅ 17 5 26 = 17 5 13 ⋅ 26 = 17 5 ⋅ 13 2 = 17 65 2 R = 65 2 34 R = \frac{65\sqrt{2}}{34} R = 34 65 2 Ai rezolvat această problemă?
Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.
Vreau evaluare AI — e gratuit 50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.