MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareVectoriGeometrie Analitică
Rezolvați sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=32x−y+3z=7x+y+z=4\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 7 \\ x + y + z = 4 \end{cases} a) Găsiți soluția unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0). b) Fie vectorii u⃗=x0i⃗+y0j⃗+z0k⃗\vec{u} = x_0 \vec{i} + y_0 \vec{j} + z_0 \vec{k} și v⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}. Calculați u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} și stabiliți dacă u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} sunt ortogonali.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți matricea extinsă și aplicați eliminarea Gauss: (12−1∣32−13∣7111∣4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 2 & -1 & 3 & | & 7 \\ 1 & 1 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}. Reduceți: R2←R2−2R1R2 \leftarrow R2 - 2R1, R3←R3−R1R3 \leftarrow R3 - R1, obținând (12−1∣30−55∣10−12∣1)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -5 & 5 & | & 1 \\ 0 & -1 & 2 & | & 1 \end{pmatrix}. Apoi R3←5R3−R2R3 \leftarrow 5R3 - R2, deci (12−1∣30−55∣1005∣4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -5 & 5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 5 & | & 4 \end{pmatrix}.
23 puncte
Din a treia ecuație, 5z=4⇒z=455z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{5}. Din a doua, −5y+5⋅45=1⇒−5y+4=1⇒y=35-5y + 5 \cdot \frac{4}{5} = 1 \Rightarrow -5y + 4 = 1 \Rightarrow y = \frac{3}{5}. Din prima, x+2⋅35−45=3⇒x+65−45=3⇒x=3−25=135x + 2 \cdot \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = 3 \Rightarrow x + \frac{6}{5} - \frac{4}{5} = 3 \Rightarrow x = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}. Soluția este (x0,y0,z0)=(135,35,45)(x_0, y_0, z_0) = (\frac{13}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}).
33 puncte
Calculați u⃗⋅v⃗=x0⋅1+y0⋅2+z0⋅3=135+2⋅35+3⋅45=135+65+125=315≠0\vec{u} \cdot \vec{v} = x_0 \cdot 1 + y_0 \cdot 2 + z_0 \cdot 3 = \frac{13}{5} + 2 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{13}{5} + \frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{31}{5} \neq 0, deci vectorii nu sunt ortogonali.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.