MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere Complexe
Fie zz un număr complex astfel încât z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Calculați valoarea expresiei E=z2023+1z2023E = z^{2023} + \frac{1}{z^{2023}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din ecuația z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0, folosim identitatea algebrică: înmulțim cu (z−1)(z-1) pentru a obține (z−1)(z2+z+1)=z3−1=0(z-1)(z^2+z+1)=z^3-1=0, deci z3=1z^3=1 (presupunând z≠1z \neq 1, ceea ce este adevărat deoarece z=1z=1 nu verifică ecuația inițială).
23 puncte
Deoarece z3=1z^3=1, puterile lui zz sunt periodice cu perioada 3. Astfel, z2023=z3⋅674+1=(z3)674⋅z=1674⋅z=zz^{2023} = z^{3 \cdot 674 + 1} = (z^3)^{674} \cdot z = 1^{674} \cdot z = z.
33 puncte
Calculăm 1z2023=1z\frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{z}. Din ecuația inițială z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0, împărțim prin zz (deoarece z≠0z \neq 0), obținând z+1+1z=0z + 1 + \frac{1}{z} = 0, deci 1z=−1−z\frac{1}{z} = -1 - z.
42 puncte
Înlocuim în expresia pentru E: E=z2023+1z2023=z+1z=z+(−1−z)=−1E = z^{2023} + \frac{1}{z^{2023}} = z + \frac{1}{z} = z + (-1 - z) = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.