MediuLogică matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematică
Fie propoziția P(n):"2n>n2"P(n): "2^n > n^2" pentru orice număr natural n≥5n \geq 5. a) Enunțați negarea propoziției P(n)P(n). b) Demonstrați prin inducție matematică că P(n)P(n) este adevărată pentru toate n≥5n \geq 5. c) Discutați valoarea de adevăr a implicației: "Dacă nn este un număr prim, atunci P(n)P(n) este adevărată."

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Negarea propoziției P(n)P(n) este: "Există un număr natural n≥5n \geq 5 astfel încât 2n≤n22^n \leq n^2".
25 puncte
Demonstrația prin inducție: Pasul de bază pentru n=5n=5: 25=32>25=522^5 = 32 > 25 = 5^2, deci adevărat. Pasul inductiv: presupunem 2k>k22^k > k^2 pentru un k≥5k \geq 5 arbitrar, și demonstrăm 2k+1>(k+1)22^{k+1} > (k+1)^2. Avem 2k+1=2⋅2k>2k22^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2. Trebuie să arătăm că 2k2>(k+1)2=k2+2k+12k^2 > (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1, adică k2−2k−1>0k^2 - 2k - 1 > 0. Pentru k≥5k \geq 5, această inegalitate este adevărată (de exemplu, 52−2⋅5−1=14>05^2 - 2\cdot5 -1 = 14 > 0).
32 puncte
Implicația "Dacă nn este prim, atunci P(n)P(n) este adevărată" nu este adevărată pentru toate numerele prime, deoarece P(n)P(n) este definită doar pentru n≥5n \geq 5. Pentru numere prime n<5n < 5 (cum ar fi n=2n=2 sau n=3n=3), P(n)P(n) nu se aplică sau se poate verifica direct că 2n≤n22^n \leq n^2, deci implicația este falsă în general; totuși, pentru numere prime n≥5n \geq 5, din demonstrație, P(n)P(n) este adevărată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.