MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=−i⃗+4j⃗+2k⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k} și c⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}. Determinați numerele reale x,y,zx, y, z astfel încât vectorii a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} să fie coplanari, iar c⃗\vec{c} să fie perpendicular pe a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de coplanaritate: determinantul coordonatelor este zero. Calculați det⁡(a⃗,b⃗,c⃗)=0\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0: ∣2−13−142xyz∣=0\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 2 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0. Dezvoltați: 2(4z−2y)−(−1)(−z−2x)+3(−y−4x)=8z−4y+z+2x−3y−12x=9z−7y−10x=02(4z - 2y) - (-1)(-z - 2x) + 3(-y - 4x) = 8z - 4y + z + 2x - 3y - 12x = 9z - 7y - 10x = 0.
23 puncte
Condiția de perpendicularitate: c⃗⋅(a⃗+b⃗)=0\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0. Calculați a⃗+b⃗=(2−1,−1+4,3+2)=(1,3,5)\vec{a} + \vec{b} = (2-1, -1+4, 3+2) = (1, 3, 5), deci x+3y+5z=0x + 3y + 5z = 0.
34 puncte
Rezolvați sistemul: {−10x−7y+9z=0x+3y+5z=0\begin{cases} -10x - 7y + 9z = 0 \\ x + 3y + 5z = 0 \end{cases}. Din a doua, x=−3y−5zx = -3y - 5z. Substituiți în prima: −10(−3y−5z)−7y+9z=30y+50z−7y+9z=23y+59z=0-10(-3y - 5z) - 7y + 9z = 30y + 50z - 7y + 9z = 23y + 59z = 0, deci y=−5923zy = -\frac{59}{23}z. Apoi x=−3(−5923z)−5z=17723z−5z=6223zx = -3(-\frac{59}{23}z) - 5z = \frac{177}{23}z - 5z = \frac{62}{23}z. Soluția generală: x=6223t,y=−5923t,z=tx = \frac{62}{23}t, y = -\frac{59}{23}t, z = t, cu t∈Rt \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.