MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți toate perechile de numere reale pozitive (x,y)(x, y) care satisfac sistemul: {log⁡3(x)+log⁡3(y)=2x2+y2=10\begin{cases} \log_3(x) + \log_3(y) = 2 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind proprietățile logaritmilor, din log⁡3(x)+log⁡3(y)=2\log_3(x) + \log_3(y) = 2 obținem log⁡3(xy)=2\log_3(xy) = 2, deci xy=9xy = 9.
23 puncte
Din x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 și xy=9xy = 9, avem x2+y2=(x+y)2−2xy=(x+y)2−18=10x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x+y)^2 - 18 = 10, deci (x+y)2=28(x+y)^2 = 28.
34 puncte
Rezolvăm (x+y)2=28(x+y)^2 = 28, deci x+y=28x+y = \sqrt{28} sau x+y=−28x+y = -\sqrt{28}. Cum xx și yy sunt pozitive, x+y=28=27x+y = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}. Formăm sistemul {x+y=27xy=9\begin{cases} x+y = 2\sqrt{7} \\ xy = 9 \end{cases}, care are soluțiile x=7+2x = \sqrt{7} + \sqrt{2}, y=7−2y = \sqrt{7} - \sqrt{2} și x=7−2x = \sqrt{7} - \sqrt{2}, y=7+2y = \sqrt{7} + \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.