MediuMatematică financiarăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceLogaritmi
O persoană plănuiește să strângă 50.000 de lei în 10 ani, făcând depozite anuale constante la începutul fiecărui an într-un cont care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 6%6\%. Să se determine suma DD care trebuie depusă anual. Dacă persoana ar depune anual 3.000 de lei, în câți ani nn va acumula cel puțin 50.000 de lei?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea formulei pentru valoarea viitoare a unei anuități anticipate: S=D⋅(1+i)n−1i⋅(1+i)S = D \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i), unde i=0.06i=0.06. Pentru prima parte, n=10n=10 și S=50000S=50000.
23 puncte
Rezolvarea ecuației 50000=D⋅(1.06)10−10.06⋅1.0650000 = D \cdot \frac{(1.06)^{10} - 1}{0.06} \cdot 1.06. Calcul: (1.06)10≈1.7908477(1.06)^{10} \approx 1.7908477, deci 1.7908477−10.06≈13.180795\frac{1.7908477 - 1}{0.06} \approx 13.180795. Înmulțind cu 1.061.06 dă ≈13.9716427\approx 13.9716427. Atunci D=5000013.9716427≈3578.50D = \frac{50000}{13.9716427} \approx 3578.50 lei.
34 puncte
Pentru a doua parte, D=3000D=3000 și S=50000S=50000. Ecuația: 50000=3000⋅(1.06)n−10.06⋅1.0650000 = 3000 \cdot \frac{(1.06)^n - 1}{0.06} \cdot 1.06. Simplificare: 500003000=503≈16.6667=(1.06)n−10.06⋅1.06\frac{50000}{3000} = \frac{50}{3} \approx 16.6667 = \frac{(1.06)^n - 1}{0.06} \cdot 1.06. Deci (1.06)n−10.06=16.66671.06≈15.7233\frac{(1.06)^n - 1}{0.06} = \frac{16.6667}{1.06} \approx 15.7233. Apoi (1.06)n−1=0.06⋅15.7233≈0.9434(1.06)^n - 1 = 0.06 \cdot 15.7233 \approx 0.9434, deci (1.06)n≈1.9434(1.06)^n \approx 1.9434. Luând logaritmi: n⋅ln⁡(1.06)=ln⁡(1.9434)n \cdot \ln(1.06) = \ln(1.9434), deci n=ln⁡(1.9434)ln⁡(1.06)≈0.66460.05827≈11.41n = \frac{\ln(1.9434)}{\ln(1.06)} \approx \frac{0.6646}{0.05827} \approx 11.41. Deoarece depunerile se fac la începutul anului, nn trebuie să fie întreg; pentru n=11n=11, suma acumulată este sub 50000, pentru n=12n=12 este peste. Deci sunt necesari 12 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.