MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ax2+3bxf(x) = x^3 - 3a x^2 + 3b x, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Să se determine valorile parametrilor aa și bb pentru care ff este crescătoare și convexă pe [0,∞)[0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
11 punct
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6ax+3b=3(x2−2ax+b)f'(x) = 3x^2 - 6a x + 3b = 3(x^2 - 2a x + b).
21 punct
Condiția de monotonie: ff crescătoare pe [0,∞)[0, \infty) dacă f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈[0,∞)x \in [0, \infty).
31 punct
Analizăm semnul lui f′(x)f'(x) pe [0,∞)[0, \infty). Funcția g(x)=x2−2ax+bg(x) = x^2 - 2a x + b este o parabolă cu ramurile în sus.
42 puncte
Dacă a≤0a \leq 0, atunci vârful parabolei la x=ax=a este în afara intervalului [0,∞)[0, \infty), deci minimul pe interval este la x=0x=0, cu valoarea bb. Pentru ca g(x)≥0g(x) \geq 0 pe [0,∞)[0, \infty), trebuie b≥0b \geq 0.
51 punct
Dacă a>0a > 0, atunci vârful este în interval, și minimul este g(a)=b−a2g(a) = b - a^2. Pentru ca g(x)≥0g(x) \geq 0 pe [0,∞)[0, \infty), trebuie b≥a2b \geq a^2. Dar trebuie să verificăm și condiția de convexitate.
61 punct
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6a=6(x−a)f''(x) = 6x - 6a = 6(x - a).
72 puncte
Condiția de convexitate: ff convexă pe [0,∞)[0, \infty) dacă f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru x∈[0,∞)x \in [0, \infty). Adică x−a≥0x - a \geq 0 pentru x∈[0,∞)x \in [0, \infty), deci a≤0a \leq 0.
81 punct
Din pasul 7, a≤0a \leq 0. Atunci din pasul 4, pentru a≤0a \leq 0, avem b≥0b \geq 0. Deci condițiile finale: a≤0a \leq 0 și b≥0b \geq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.