MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorSisteme de Ecuații Neliniare
Fie funcția f(x)=x2+ax+1x+bf(x)=\frac{x^2+ax+1}{x+b}, unde a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}. a) Determină asimptotele funcției în funcție de parametrii aa și bb. b) Determină aa și bb știind că graficul funcției are asimptota oblică y=x+3y=x+3 și trece prin punctul P(2,5)P(2,5).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru partea a): Domeniul este R∖{−b}\mathbb{R}\setminus\{-b\}. Asimptota verticală: dacă b2−ab+1≠0b^2-ab+1\neq0 (adică −b-b nu este rădăcină a numărătorului), atunci lim⁡x→−bf(x)=∞\lim_{x\to -b} f(x)=\infty, deci x=−bx=-b este asimptotă verticală. În caz contrar, se poate simplifica și nu există asimptotă verticală.
23 puncte
Asimptota oblică: pentru x→±∞x\to\pm\infty, calculăm m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2+ax+1x(x+b)=lim⁡x→±∞1+ax+1x21+bx=1m=\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2+ax+1}{x(x+b)}= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{b}{x}}=1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=lim⁡x→±∞(a−b)x+1x+b=lim⁡x→±∞a−b+1x1+bx=a−bn=\lim_{x\to\pm\infty} (f(x)-x)= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{(a-b)x+1}{x+b}= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{a-b+\frac{1}{x}}{1+\frac{b}{x}}=a-b. Deci asimptota oblică este y=x+(a−b)y=x+(a-b).
32 puncte
Pentru partea b): Din condiția asimptotei oblice, avem a−b=3a-b=3 (1). Din condiția că f(2)=5f(2)=5, avem 4+2a+12+b=5⇒5+2a2+b=5\frac{4+2a+1}{2+b}=5 \Rightarrow \frac{5+2a}{2+b}=5 (2).
42 puncte
Rezolvăm sistemul: din (1) a=b+3a=b+3. Înlocuim în (2): 5+2(b+3)2+b=5⇒11+2b2+b=5⇒11+2b=10+5b⇒1=3b⇒b=13\frac{5+2(b+3)}{2+b}=5 \Rightarrow \frac{11+2b}{2+b}=5 \Rightarrow 11+2b=10+5b \Rightarrow 1=3b \Rightarrow b=\frac{1}{3}. Atunci a=13+3=103a=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}. Deci a=103a=\frac{10}{3}, b=13b=\frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.