MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăProbabilități
Într-o urnă se află aa bile albe și bb bile negre. Se extrag kk bile succesiv fără a pune bilele înapoi. Calculați probabilitatea ca printre cele kk bile extrase să fie exact rr bile albe, unde 0≤r≤min⁡(k,a)0 \leq r \leq \min(k, a). Discutați validitatea rezultatului pentru diferite valori ale parametrilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți spațiul evenimentelor: numărul total de moduri de a extrage kk bile din totalul de a+ba+b bile este Ca+bkC_{a+b}^k, presupunând că toate extragerile sunt egal probabile.
23 puncte
Calculați numărul de cazuri favorabile: pentru a avea exact rr bile albe, trebuie să alegem rr bile albe din cele aa și k−rk-r bile negre din cele bb, adică Car⋅Cbk−rC_a^r \cdot C_b^{k-r}, cu condiția ca 0≤r≤a0 \leq r \leq a și 0≤k−r≤b0 \leq k-r \leq b.
33 puncte
Scrieți formula probabilității: P=Car⋅Cbk−rCa+bkP = \frac{C_a^r \cdot C_b^{k-r}}{C_{a+b}^k}, verificând că k≤a+bk \leq a+b.
42 puncte
Discutați cazurile limită: dacă k>a+bk > a+b, extragerile sunt imposibile și probabilitatea este nedefinită; dacă r>ar > a sau k−r>bk-r > b, atunci Car=0C_a^r = 0 sau Cbk−r=0C_b^{k-r} = 0, deci probabilitatea este 0; analizați pentru valori concrete, cum ar fi a=ba=b sau k=1k=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.