MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(k111k111k)A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Calculați det⁡(A)\det(A). b) Determinați valorile lui kk pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0. c) Pentru k=2k=2, calculați inversa matricei AA, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=k⋅det⁡(k11k)−1⋅det⁡(111k)+1⋅det⁡(1k11)=k(k2−1)−(k−1)+(1−k)=k3−k−k+1+1−k=k3−3k+2\det(A) = k \cdot \det\begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & k \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = k(k^2 - 1) - (k - 1) + (1 - k) = k^3 - k - k + 1 + 1 - k = k^3 - 3k + 2.
23 puncte
Rezolvarea ecuației det⁡(A)=0\det(A)=0: k3−3k+2=0k^3 - 3k + 2 = 0. Factorizare: (k−1)2(k+2)=0(k-1)^2(k+2)=0, deci k=1k=1 (dublă) sau k=−2k=-2.
33 puncte
Pentru k=2k=2, det⁡(A)=8−6+2=4≠0\det(A)= 8-6+2=4 \neq 0, deci matricea este inversabilă. Calculul inversei: A−1=14(3−1−1−13−1−1−13)A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.