MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere Complexe
Se consideră numărul complex z=1+i1−iz = \frac{1+i}{1-i}, unde i2=−1i^2 = -1. Calculați z2024z^{2024}. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, z4n=1z^{4n} = 1 și z4n+2=−1z^{4n+2} = -1. Utilizați acest rezultat pentru a determina suma S=z+z2+z3+⋯+z2024S = z + z^2 + z^3 + \dots + z^{2024}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul lui zz: z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=1+2i+i21−i2=1+2i−11+1=2i2=iz = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i. Deci z=iz = i, iar i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1.
24 puncte
Demonstrația prin inducție: Pentru n=1n=1, z4=i4=1z^{4} = i^4 = 1, adevărat; z6=i6=−1z^{6} = i^6 = -1, adevărat. Presupunem z4k=1z^{4k} = 1 și z4k+2=−1z^{4k+2} = -1. Pentru n=k+1n=k+1, z4(k+1)=z4k+4=z4k⋅z4=1⋅1=1z^{4(k+1)} = z^{4k+4} = z^{4k} \cdot z^4 = 1 \cdot 1 = 1. z4(k+1)+2=z4k+6=z4k+2⋅z4=(−1)⋅1=−1z^{4(k+1)+2} = z^{4k+6} = z^{4k+2} \cdot z^4 = (-1) \cdot 1 = -1.
32 puncte
Calculul sumei SS: S=z+z2+z3+⋯+z2024S = z + z^2 + z^3 + \dots + z^{2024}. Știm că z=iz = i, deci puterile lui ii se repetă cu perioada 4: i1=ii^1 = i, i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1. 2024 este divizibil cu 4: 2024/4 = 506, deci z2024=i2024=(i4)506=1506=1z^{2024} = i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1. Suma ciclului de 4 termeni: i+(−1)+(−i)+1=0i + (-1) + (-i) + 1 = 0. Există 506 cicluri complete: 506 * 0 = 0. Deci S=0S = 0.
42 puncte
Verificare alternativă: S=∑k=12024ikS = \sum_{k=1}^{2024} i^k. Deoarece 2024 este multiplu de 4, suma este 0, conform proprietății ciclice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.