MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, indicând intervalele de monotonie, intervalele de convexitate/concavitate și punctele de extrem, respectiv de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}.
23 puncte
Determinarea monotoniei: f′(x)>0f'(x) > 0 când 1−ln⁡x>01 - \ln x > 0, adică ln⁡x<1\ln x < 1, deci x<ex < e; ff crescătoare pe (0,e)(0, e) și descrescătoare pe (e,∞)(e, \infty); punct de maxim local la x=ex=e, f(e)=1ef(e)=\frac{1}{e}.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=2ln⁡x−3x3f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}.
43 puncte
Determinarea convexității: f′′(x)>0f''(x) > 0 când 2ln⁡x−3>02\ln x - 3 > 0, adică ln⁡x>32\ln x > \frac{3}{2}, deci x>e3/2x > e^{3/2}; ff convexă pe (e3/2,∞)(e^{3/2}, \infty) și concavă pe (0,e3/2)(0, e^{3/2}); punct de inflexiune la x=e3/2x = e^{3/2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.