MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc egalitatea ∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}. Apoi, folosind această relație, să se calculeze limita șirului definit prin xn=∑k=1n1k(k+1)x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Verificarea pentru n=1n=1: 11⋅2=12\frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2} și 11+1=12\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Presupunem adevărat pentru n=pn=p, adică ∑k=1p1k(k+1)=pp+1\sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{p}{p+1}.
33 puncte
Demonstrația pentru n=p+1n=p+1: ∑k=1p+11k(k+1)=pp+1+1(p+1)(p+2)=p(p+2)+1(p+1)(p+2)=p2+2p+1(p+1)(p+2)=(p+1)2(p+1)(p+2)=p+1p+2\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{p}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)} = \frac{p(p+2) + 1}{(p+1)(p+2)} = \frac{p^2+2p+1}{(p+1)(p+2)} = \frac{(p+1)^2}{(p+1)(p+2)} = \frac{p+1}{p+2}, ceea ce corespunde formulei pentru n=p+1n=p+1.
42 puncte
Concluzia inducției: egalitatea este adevărată pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
52 puncte
Calculul limitei: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞nn+1=1\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.