MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Studiați existența asimptotelor pentru funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1−xln⁡(x+1)f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{\ln(x+1)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție DD. Condiții: x+1>0x+1 > 0 și ln⁡(x+1)≠0\ln(x+1) \neq 0. Deci x>−1x > -1 și x≠0x \neq 0. Așadar, D=(−1,0)∪(0,∞)D = (-1,0) \cup (0, \infty).
23 puncte
Căutăm asimptote verticale. Calculăm limitele în punctele unde funcția ar putea avea asimptote verticale.
  • La x→0x \to 0: lim⁡x→0x2+1−x=1\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2+1} - x = 1, lim⁡x→0ln⁡(x+1)=0\lim_{x \to 0} \ln(x+1) = 0, deci lim⁡x→0f(x)=∞\lim_{x \to 0} f(x) = \infty. Prin urmare, x=0x=0 este asimptotă verticală.
  • La x→−1+x \to -1^+: lim⁡x→−1+ln⁡(x+1)=−∞\lim_{x \to -1^+} \ln(x+1) = -\infty, lim⁡x→−1+(x2+1−x)=2+1\lim_{x \to -1^+} (\sqrt{x^2+1} - x) = \sqrt{2} + 1, finit, deci lim⁡x→−1+f(x)=0\lim_{x \to -1^+} f(x) = 0. Nu există asimptotă verticală la x=−1x=-1.
33 puncte
Căutăm asimptote orizontale. Calculăm lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x). Pentru xx mare, x2+1−x=1x2+1+x∼12x\sqrt{x^2+1} - x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \sim \frac{1}{2x}, și ln⁡(x+1)∼ln⁡x\ln(x+1) \sim \ln x. Atunci f(x)∼12xln⁡x→0f(x) \sim \frac{1}{2x \ln x} \to 0. Deci, y=0y=0 este asimptotă orizontală la +∞+\infty.
42 puncte
Verificăm existența asimptotelor oblice. La +∞+\infty, deoarece există asimptotă orizontală, nu există asimptotă oblică. La x→−1+x \to -1^+, limita este finită, deci nu există asimptotă oblică. Concluzie: funcția are asimptotă verticală x=0x=0 și asimptotă orizontală y=0y=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.