MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex2−4x+3f(x)=e^{x^2-4x+3}. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Determinați punctele de extrem și punctele de inflexiune ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ex2−4x+3⋅(2x−4)=2(x−2)ex2−4x+3f'(x)=e^{x^2-4x+3}\cdot(2x-4)=2(x-2)e^{x^2-4x+3}. Studierea semnului derivatei întâi: f′(x)=0⇒x=2f'(x)=0\Rightarrow x=2. Deoarece ex2−4x+3>0e^{x^2-4x+3}>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}, semnul lui f′(x)f'(x) depinde de semnul lui 2(x−2)2(x-2). Astfel, f′(x)≤0f'(x)\leq0 pentru x∈(−∞,2]x\in(-\infty,2], deci ff este descrescătoare pe (−∞,2](-\infty,2], și f′(x)≥0f'(x)\geq0 pentru x∈[2,∞)x\in[2,\infty), deci ff este crescătoare pe [2,∞)[2,\infty).
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=[2(x−2)ex2−4x+3]′=2ex2−4x+3+2(x−2)ex2−4x+3⋅(2x−4)=2ex2−4x+3[1+2(x−2)2]=2ex2−4x+3(2x2−8x+9)f''(x)=[2(x-2)e^{x^2-4x+3}]'=2e^{x^2-4x+3}+2(x-2)e^{x^2-4x+3}\cdot(2x-4)=2e^{x^2-4x+3}[1+2(x-2)^2]=2e^{x^2-4x+3}(2x^2-8x+9). Semnul lui f′′(x)f''(x) depinde de semnul trinomului g(x)=2x2−8x+9g(x)=2x^2-8x+9, care are discriminantul Δ=64−72=−8<0\Delta=64-72=-8<0 și coeficientul lui x2x^2 pozitiv, deci g(x)>0g(x)>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}. În consecință, f′′(x)>0f''(x)>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}, deci ff este convexă pe R\mathbb{R}; nu există intervale de concavitate.
34 puncte
Puncte de extrem: Din studiul monotonicității, ff are un minim local (și global) în x=2x=2, deoarece derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Valoarea minimă este f(2)=e4−8+3=e−1f(2)=e^{4-8+3}=e^{-1}. Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)≠0f''(x)\neq0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.