MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați punctele de pe graficul funcției în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1 și calculați distanța de la aceste puncte la originea axelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata funcției: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Egalați f′(x)f'(x) cu panta dreptei, care este 3: 3x2−6x=33x^2 - 6x = 3, deci 3x2−6x−3=03x^2 - 6x - 3 = 0 sau x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0. Rezolvați ecuația: x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}.
32 puncte
Determinați ordonatele punctelor: pentru x=1+2x = 1 + \sqrt{2}, y=f(1+2)=(1+2)3−3(1+2)2+4y = f(1 + \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})^3 - 3(1 + \sqrt{2})^2 + 4, calculați și simplificați la y=−2+22y = -2 + 2\sqrt{2}; pentru x=1−2x = 1 - \sqrt{2}, y=f(1−2)=(1−2)3−3(1−2)2+4y = f(1 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{2})^3 - 3(1 - \sqrt{2})^2 + 4, calculați și simplificați la y=−2−22y = -2 - 2\sqrt{2}.
42 puncte
Calculați distanța de la fiecare punct la origine: pentru punctul (1+2,−2+22)(1 + \sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2}), d=(1+2)2+(−2+22)2=3+22+4−82+8=15−62d = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + (-2 + 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2} + 4 - 8\sqrt{2} + 8} = \sqrt{15 - 6\sqrt{2}}; pentru punctul (1−2,−2−22)(1 - \sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2}), d=(1−2)2+(−2−22)2=3−22+4+82+8=15+62d = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2 + (-2 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2} + 4 + 8\sqrt{2} + 8} = \sqrt{15 + 6\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.