MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorTrigonometrie
Se consideră funcția f(x)=ex+e−x−2cos⁡xf(x) = e^x + e^{-x} - 2\cos x. a) Demonstrați că f′(x)=ex−e−x+2sin⁡xf'(x) = e^x - e^{-x} + 2\sin x. b) Studiați semnul derivatei întâi pe intervalul [0,π][0, \pi] și deduceți monotonia funcției. c) Arătați că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=ex−e−x+2sin⁡xf'(x) = e^x - e^{-x} + 2\sin x, folosind regulile de derivare pentru exponențiale și cosinus.
24 puncte
Pe [0,π][0, \pi], se studiază f′(x)f'(x). Se calculează f′′(x)=ex+e−x+2cos⁡xf''(x) = e^x + e^{-x} + 2\cos x. Deoarece ex+e−x≥2e^x + e^{-x} \geq 2 și 2cos⁡x≥−22\cos x \geq -2 pe acest interval, avem f′′(x)≥0f''(x) \geq 0, deci f′(x)f'(x) este crescătoare. Cum f′(0)=0f'(0)=0, rezultă f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pe [0,π][0, \pi], iar ff este crescătoare pe acest interval.
34 puncte
Funcția ff este pară: f(−x)=e−x+ex−2cos⁡(−x)=f(x)f(-x) = e^{-x} + e^{x} - 2\cos(-x) = f(x). Din monotonie, f(x)≥f(0)=0f(x) \geq f(0) = 0 pentru x≥0x \geq 0, iar pentru x<0x < 0, folosind paritatea, f(x)=f(∣x∣)≥0f(x) = f(|x|) \geq 0. Astfel, f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.