MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1: ∑k=11k3=13=1\sum_{k=1}^{1} k^3 = 1^3 = 1 și (1(1+1)2)2=(1)2=1\left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2 = \left(1\right)^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Se enunță ipoteza inductivă pentru n=k: ∑i=1ki3=(k(k+1)2)2\sum_{i=1}^{k} i^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2.
35 puncte
Se demonstrează pasul inductiv pentru n=k+1: ∑i=1k+1i3=∑i=1ki3+(k+1)3=(k(k+1)2)2+(k+1)3\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \sum_{i=1}^{k} i^3 + (k+1)^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3. Se simplifică expresia: (k(k+1)2)2+(k+1)3=(k+1)2(k24+k+1)=(k+1)2(k2+4k+44)=((k+1)(k+2)2)2\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2, ceea ce confirmă egalitatea pentru n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.