MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Într-un triunghi ABC, se cunosc AB=6AB = 6, BC=8BC = 8 și ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Aflați lungimea laturii AC și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm teorema cosinusului pentru latura BC: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡∠ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A. Înlocuim valorile: 82=62+AC2−2⋅6⋅AC⋅cos⁡60∘8^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \cos 60^\circ. Cum cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, obținem 64=36+AC2−6AC64 = 36 + AC^2 - 6AC, deci AC2−6AC−28=0AC^2 - 6AC - 28 = 0.
23 puncte
Rezolvăm ecuația AC2−6AC−28=0AC^2 - 6AC - 28 = 0. Discriminantul Δ=36+112=148\Delta = 36 + 112 = 148, deci AC=6±1482=3±37AC = \frac{6 \pm \sqrt{148}}{2} = 3 \pm \sqrt{37}. Deoarece AC>0AC > 0, avem AC=3+37AC = 3 + \sqrt{37}.
33 puncte
Calculăm aria cu formula A=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠A=12⋅6⋅(3+37)⋅sin⁡60∘=12⋅6⋅(3+37)⋅32=33(3+37)2A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (3 + \sqrt{37}) \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (3 + \sqrt{37}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}(3 + \sqrt{37})}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.