MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie aa și bb numere reale astfel încât a2+b2=10a^2 + b^2 = 10 și a+b=4a + b = 4. Demonstrați că a4+b4=82a^4 + b^4 = 82 și apoi calculați valoarea expresiei E=log⁡2(a6+b6)E = \log_2(a^6 + b^6).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din a+b=4a + b = 4, ridicăm la pătrat: (a+b)2=16(a + b)^2 = 16, adică a2+2ab+b2=16a^2 + 2ab + b^2 = 16. Știm că a2+b2=10a^2 + b^2 = 10, deci 10+2ab=1610 + 2ab = 16, de unde 2ab=62ab = 6, iar ab=3ab = 3.
23 puncte
Calculăm a4+b4a^4 + b^4 folosind identitatea a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2. Avem a2+b2=10a^2 + b^2 = 10 și a2b2=(ab)2=32=9a^2b^2 = (ab)^2 = 3^2 = 9. Atunci a4+b4=102−2⋅9=100−18=82a^4 + b^4 = 10^2 - 2 \cdot 9 = 100 - 18 = 82, ceea ce demonstrează prima cerință.
34 puncte
Pentru calculul lui EE, folosim identitatea a6+b6=(a2+b2)(a4−a2b2+b4)a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4). Din pașii anteriori, a2+b2=10a^2 + b^2 = 10, a4+b4=82a^4 + b^4 = 82, și a2b2=9a^2b^2 = 9. Atunci a4−a2b2+b4=82−9=73a^4 - a^2b^2 + b^4 = 82 - 9 = 73. Deci a6+b6=10⋅73=730a^6 + b^6 = 10 \cdot 73 = 730. Apoi E=log⁡2(730)E = \log_2(730), care este răspunsul final (se poate lăsa în această formă sau aproximat, dar în barem se menționează valoarea exactă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.