MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareIdentități algebrice
Rezolvați sistemul de ecuații neliniare: {x2+y2=13x3+y3=35\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm s=x+ys = x+y și p=xyp = xy. Atunci x2+y2=s2−2px^2 + y^2 = s^2 - 2p și x3+y3=s3−3spx^3 + y^3 = s^3 - 3sp. \
23 puncte
Sistemul devine {s2−2p=13s3−3sp=35\begin{cases} s^2 - 2p = 13 \\ s^3 - 3sp = 35 \end{cases}. \
33 puncte
Din prima ecuație, p=s2−132p = \frac{s^2 - 13}{2}. Înlocuim în a doua: s3−3s⋅s2−132=35s^3 - 3s \cdot \frac{s^2 - 13}{2} = 35, de unde obținem s3−39s+70=0s^3 - 39s + 70 = 0. Factorizăm: (s−5)(s2+5s−14)=0(s-5)(s^2 + 5s - 14) = 0, deci s=5s = 5, s=2s = 2, sau s=−7s = -7. \
42 puncte
Pentru fiecare ss, calculăm pp și rezolvăm ecuația t2−st+p=0t^2 - st + p = 0. Pentru s=5s=5, p=6p=6, obținem x=2,y=3x=2, y=3 sau x=3,y=2x=3, y=2. Pentru s=2s=2, p=−4.5p=-4.5, obținem x=1+5.5,y=1−5.5x = 1 + \sqrt{5.5}, y = 1 - \sqrt{5.5} sau invers. Pentru s=−7s=-7, p=18p=18, ecuația t2+7t+18=0t^2 +7t +18=0 are discriminant negativ, deci nu are soluții reale. Soluțiile reale sunt (2,3)(2,3), (3,2)(3,2), (1+5.5,1−5.5)(1+\sqrt{5.5}, 1-\sqrt{5.5}), (1−5.5,1+5.5)(1-\sqrt{5.5}, 1+\sqrt{5.5}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.