MediuLogică matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații logaritmice
Considerăm propozițiile p:x∈R,x2−4x+3≤0p: x \in \mathbb{R}, x^2 - 4x + 3 \leq 0 și q:x∈R,log⁡2(x−1)>0q: x \in \mathbb{R}, \log_2(x-1) > 0. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care implicația p→qp \rightarrow q este adevărată. Apoi, stabiliți dacă propoziția ∀x∈R,(p→q)\forall x \in \mathbb{R}, (p \rightarrow q) este adevărată sau falsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm pp: x2−4x+3≤0⇒(x−1)(x−3)≤0x^2 - 4x + 3 \leq 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \leq 0, deci x∈[1,3]x \in [1,3].
23 puncte
Rezolvăm qq: log⁡2(x−1)>0⇒x−1>1⇒x>2\log_2(x-1) > 0 \Rightarrow x-1 > 1 \Rightarrow x > 2, cu condiția x−1>0⇒x>1x-1 > 0 \Rightarrow x > 1. Deci qq adevărată pentru x>2x > 2.
32 puncte
Implicația p→qp \rightarrow q este echivalentă cu ¬p∨q\neg p \lor q. Mulțimea unde pp falsă: x<1x < 1 sau x>3x > 3. Mulțimea unde qq adevărată: x>2x > 2. Reuniunea: x<1x < 1 sau x>2x > 2. Deci p→qp \rightarrow q adevărată pentru x∈(−∞,1)∪(2,∞)x \in (-\infty,1) \cup (2,\infty).
42 puncte
Propoziția ∀x∈R,(p→q)\forall x \in \mathbb{R}, (p \rightarrow q) este falsă, deoarece pentru x=1.5∈[1,3]x=1.5 \in [1,3], pp adevărată dar qq falsă, deci p→qp \rightarrow q falsă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.