MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(1aa2aa21a21a)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & a^2 & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ca \in \mathbb{C}. Calculați det⁡(A)\det(A) și determinați toate numerele complexe aa pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea determinantului matricei A ca sumă de produse.
24 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=1⋅(a2⋅a−1⋅1)−a⋅(a⋅a−1⋅a2)+a2⋅(a⋅1−a2⋅a2)=a3−1+a3−a6=−a6+2a3−1=−(a3−1)2\det(A) = 1 \cdot (a^2 \cdot a - 1 \cdot 1) - a \cdot (a \cdot a - 1 \cdot a^2) + a^2 \cdot (a \cdot 1 - a^2 \cdot a^2) = a^3 - 1 + a^3 - a^6 = -a^6 + 2a^3 - 1 = - (a^3 - 1)^2.
33 puncte
Rezolvarea ecuației det⁡(A)=0\det(A)=0: −(a3−1)2=0⇒a3=1⇒a-(a^3 - 1)^2 = 0 \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a este rădăcina cubică a unității, deci a∈{1,−1+i32,−1−i32}a \in \{1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.