MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Studiați existența asimptotelor funcției f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x)x−1f(x) = \frac{\ln(x)}{x - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Analiza asimptotei verticale. Domeniul este (0,∞)∖{1}(0, \infty) \setminus \{1\}. Se calculează lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1ln⁡(x)x−1\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}. Folosind proprietăți ale logaritmilor sau regula lui l'Hôpital, lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=lim⁡x→11/x1=1\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = 1 (de exemplu, cu substituția x=1+hx = 1+h și ln⁡(1+h)∼h\ln(1+h) \sim h). Deci limita există și este finită, prin urmare nu există asimptotă verticală în x=1x=1.
24 puncte
Calculul limitelor la infinit pentru asimptote orizontale. lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡(x)x−1=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x-1} = 0, deoarece ln⁡(x)\ln(x) crește mai lent decât orice funcție liniară. Similar, lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x)x−1=−∞−1=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x-1} = \frac{-\infty}{-1} = +\infty, dar x=0x=0 este capăt al domeniului și nu constituie o asimptotă verticală. Concluzia parțială: există asimptotă orizontală y=0y=0 când x→∞x \to \infty.
33 puncte
Verificarea existenței asimptotelor oblice. Pentru x→∞x \to \infty, deoarece lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, nu este necesară asimptota oblică. Pentru x→0+x \to 0^+, funcția tinde la +∞+\infty, dar nu definește o asimptotă verticală standard. Rezumat: funcția are o asimptotă orizontală la dreapta, y=0y=0, și nu are alte asimptote.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.