MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăMatriciDeterminanți
Fie AA o matrice pătratică de ordinul nn cu toate elementele de pe diagonala principală egale cu aa și toate celelalte elemente egale cu bb. Demonstrați prin inducție matematică că det⁡(A)=(a−b)n−1(a+(n−1)b)\det(A) = (a - b)^{n-1}(a + (n-1)b).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1: matricea este [a][a], deci det⁡(A)=a\det(A)=a. Formula dată devine (a−b)0(a+0⋅b)=a(a-b)^{0}(a+0\cdot b)=a, adevărat.
23 puncte
Se presupune ipoteza inductivă pentru n=k: pentru orice matrice de ordin k cu această structură, det⁡(Ak)=(a−b)k−1(a+(k−1)b)\det(A_k) = (a - b)^{k-1}(a + (k-1)b).
35 puncte
Pentru n=k+1, considerăm matricea Ak+1A_{k+1}. Se calculează determinantul dezvoltând după prima linie: det⁡(Ak+1)=a⋅det⁡(M11)−b⋅∑j=2k+1det⁡(M1j)\det(A_{k+1}) = a \cdot \det(M_{11}) - b \cdot \sum_{j=2}^{k+1} \det(M_{1j}), unde M1jM_{1j} sunt minorii. Datorită simetriei, toți minorii M1jM_{1j} pentru j>1 sunt egali cu det⁡(B)\det(B), unde BB este o matrice de ordin k cu diagonala aa și restul bb. Folosind ipoteza inductivă, det⁡(M11)=(a−b)k−1(a+kb)\det(M_{11}) = (a-b)^{k-1}(a + k b) și det⁡(M1j)=(a−b)k−1⋅b\det(M_{1j}) = (a-b)^{k-1} \cdot b pentru j>1. Atunci, det⁡(Ak+1)=a⋅(a−b)k−1(a+kb)−kb⋅(a−b)k−1b=(a−b)k−1[a(a+kb)−kb2]=(a−b)k−1(a2+akb−kb2)=(a−b)k−1(a−b)(a+kb)=(a−b)k(a+kb)\det(A_{k+1}) = a \cdot (a-b)^{k-1}(a + k b) - k b \cdot (a-b)^{k-1} b = (a-b)^{k-1} [a(a+kb) - k b^2] = (a-b)^{k-1} (a^2 + a k b - k b^2) = (a-b)^{k-1} (a - b)(a + k b) = (a-b)^k (a + k b), care este formula pentru n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.