MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebrice
Demonstrați că numărul de submulțimi cu un număr impar de elemente ale unei mulțimi cu nn elemente este 2n−12^{n-1}. Utilizați acest rezultat pentru a calcula suma ∑k=0⌊n/2⌋(n2k+1)\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k+1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Considerați funcția generatoare (1+x)n(1+x)^n și evaluați pentru x=1x=1 și x=−1x=-1: ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n și ∑k=0n(−1)k(nk)=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0. Scăzând cele două egalități, obțineți 2∑k impar(nk)=2n2 \sum_{k \text{ impar}} \binom{n}{k} = 2^n, deci suma coeficienților binomiali pentru kk impar este 2n−12^{n-1}.
25 puncte
Observați că ∑k=0⌊n/2⌋(n2k+1)\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k+1} reprezintă exact suma coeficienților binomiali pentru kk impar, deci valoarea este 2n−12^{n-1}. Verificați pentru cazuri particulare dacă este necesar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.