MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmiStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff pe intervalul (0,∞)(0, \infty). c) Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, x≠ex \neq e, are loc inegalitatea ln⁡xx<1e\frac{\ln x}{x} < \frac{1}{e}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=1/x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1/x \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}. Semnul lui f′(x)f'(x) depinde de 1−ln⁡x1-\ln x. Pentru x∈(0,e)x \in (0, e), ln⁡x<1\ln x < 1, deci f′(x)>0f'(x) > 0 și ff este crescătoare. Pentru x∈(e,∞)x \in (e, \infty), ln⁡x>1\ln x > 1, deci f′(x)<0f'(x) < 0 și ff este descrescătoare.
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=−1/x⋅x2−(1−ln⁡x)⋅2xx4=−x−2x(1−ln⁡x)x4=−3x+2xln⁡xx4=x(2ln⁡x−3)x4=2ln⁡x−3x3f''(x) = \frac{-1/x \cdot x^2 - (1-\ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x(1-\ln x)}{x^4} = \frac{-3x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{x(2\ln x - 3)}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}. Semnul lui f′′(x)f''(x) depinde de 2ln⁡x−32\ln x - 3 (deoarece x3>0x^3>0 pentru x>0x>0). f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru ln⁡x>3/2\ln x > 3/2, adică x>e3/2x > e^{3/2} (funcție convexă), și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru 0<x<e3/20 < x < e^{3/2} (funcție concavă). Punctul x=e3/2x=e^{3/2} este punct de inflexiune.
34 puncte
Din studiul monotoniei, ff are un maxim global în x=ex=e, cu f(e)=ln⁡ee=1ef(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}. Pentru x∈(0,e)x \in (0,e), ff este crescătoare, deci f(x)<f(e)=1ef(x) < f(e) = \frac{1}{e}. Pentru x∈(e,∞)x \in (e,\infty), ff este descrescătoare, deci f(x)<f(e)=1ef(x) < f(e) = \frac{1}{e}. Astfel, pentru orice x>0x>0, x≠ex \neq e, avem ln⁡xx<1e\frac{\ln x}{x} < \frac{1}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.