MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4−4x3+6x2f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2. Determinați intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=4x3−12x2+12x=4x(x2−3x+3)f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x = 4x(x^2 - 3x + 3). Derivata a doua: f′′(x)=12x2−24x+12=12(x2−2x+1)=12(x−1)2f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2.
23 puncte
Determinăm semnul derivatei întâi. f′(x)=4x(x2−3x+3)f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3). Discriminantul pentru x2−3x+3x^2 - 3x + 3 este Δ=9−12=−3<0\Delta = 9 - 12 = -3 < 0, deci x2−3x+3>0x^2 - 3x + 3 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Astfel, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>0x > 0, f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<0x < 0. Intervalele de monotonie: ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și crescătoare pe [0,∞)[0, \infty).
33 puncte
Determinăm semnul derivatei a doua. f′′(x)=12(x−1)2≥0f''(x) = 12(x-1)^2 \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu egalitate doar pentru x=1x=1. Deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x≠1x \neq 1, iar f′′(1)=0f''(1)=0. Funcția este convexă pe R\mathbb{R}.
42 puncte
Concluzie: Funcția ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0], crescătoare pe [0,∞)[0, \infty) și convexă pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.