MediuMatematică financiarăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăEcuații exponentialeLogaritmi
Valoarea unui investiment crește exponențial conform legii V(t)=V0ektV(t) = V_0 e^{kt}, unde V0V_0 este suma inițială, kk este rata de creștere continuă, și tt este timpul în ani. Se știe că după 2 ani, valoarea este de 6000 de lei, iar după 5 ani, este de 7500 de lei. Determinați V0V_0 și kk. Apoi, calculați timpul necesar pentru ca investimentul să se tripleze.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea sistemului de ecuații: 6000=V0e2k6000 = V_0 e^{2k} și 7500=V0e5k7500 = V_0 e^{5k}.
23 puncte
Împărțirea ecuațiilor pentru a elimina V0V_0: 75006000=e5k−2k\frac{7500}{6000} = e^{5k - 2k}, deci 1.25=e3k1.25 = e^{3k}. Aplicarea logaritmului natural: ln⁡(1.25)=3k\ln(1.25) = 3k, deci k=ln⁡(1.25)3≈0.22313≈0.07437k = \frac{\ln(1.25)}{3} \approx \frac{0.2231}{3} \approx 0.07437.
32 puncte
Substituirea lui kk în prima ecuație pentru a găsi V0V_0: 6000=V0e2⋅0.074376000 = V_0 e^{2 \cdot 0.07437}, deci V0=6000e0.14874≈60001.1604≈5170.5V_0 = \frac{6000}{e^{0.14874}} \approx \frac{6000}{1.1604} \approx 5170.5 lei.
42 puncte
Pentru triplare, 3V0=V0ekt3V_0 = V_0 e^{kt}, deci 3=ekt3 = e^{kt}. Rezolvarea pentru tt: t=ln⁡(3)k≈1.09860.07437≈14.77t = \frac{\ln(3)}{k} \approx \frac{1.0986}{0.07437} \approx 14.77 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.