MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăArii și volume
Se consideră parabola de ecuație y=4−x2y = 4 - x^2. Un dreptunghi are baza pe axa Ox și vârfurile de pe parabola dată. Determinați dimensiunile dreptunghiului care are aria maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm cu xx abscisa vârfului dreptunghiului din cadranul I, deci x∈(0,2)x \in (0,2). Lățimea dreptunghiului este 2x2x și înălțimea este y=4−x2y = 4 - x^2. Aria este A(x)=2x⋅(4−x2)=8x−2x3A(x) = 2x \cdot (4 - x^2) = 8x - 2x^3.
23 puncte
Derivata funcției A(x)A(x) este A′(x)=8−6x2A'(x) = 8 - 6x^2. Se rezolvă A′(x)=0A'(x)=0, adică 8−6x2=0⇒x2=43⇒x=2338-6x^2=0 \Rightarrow x^2=\frac{4}{3} \Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3} (doar valoarea pozitivă, deoarece x>0x>0).
33 puncte
Se studiază semnul derivatei: A′(x)>0A'(x)>0 pentru x<233x<\frac{2\sqrt{3}}{3} și A′(x)<0A'(x)<0 pentru x>233x>\frac{2\sqrt{3}}{3}, deci x=233x=\frac{2\sqrt{3}}{3} este punct de maxim.
42 puncte
Dimensiunile dreptunghiului sunt: lățimea 2x=4332x = \frac{4\sqrt{3}}{3} și înălțimea 4−x2=4−43=834 - x^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}. Aria maximă este A(233)=3239A\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{32\sqrt{3}}{9}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.