MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
Un fermier dorește să construiască un teren dreptunghiular folosind un gard de 100 m lungime. Un zid drept servește ca una dintre laturile terenului, astfel încât gardul este necesar doar pentru celelalte trei laturi. Determinați lungimile laturilor dreptunghiului care maximizează aria terenului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm cu xx lungimea laturii paralele cu zidul și cu yy lungimea celorlalte două laturi. Din condiția gardului, avem x+2y=100x + 2y = 100. Exprimăm aria A=x⋅yA = x \cdot y în funcție de xx: A(x)=x⋅100−x2=50x−x22A(x) = x \cdot \frac{100 - x}{2} = 50x - \frac{x^2}{2}.
24 puncte
Calculăm derivata A′(x)=50−xA'(x) = 50 - x. Găsim punctele critice: A′(x)=0⇒x=50A'(x) = 0 \Rightarrow x = 50. Studiem semnul derivatei: pentru x<50x < 50, A′(x)>0A'(x) > 0, pentru x>50x > 50, A′(x)<0A'(x) < 0, deci x=50x = 50 este punct de maxim.
33 puncte
Calculăm y=100−502=25y = \frac{100 - 50}{2} = 25. Aria maximă este A(50)=50⋅25=1250A(50) = 50 \cdot 25 = 1250 m2^2. Dimensiunile sunt: latura paralelă cu zidul de 50 m, celelalte laturi de 25 m fiecare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.