MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Fie funcția f:R∖{−3}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+x−1x+3f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x+3}. a) Determinați asimptotele funcției ff. b) Studiați monotonia funcției ff pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul limitelor pentru asimptote: lim⁡x→−3−f(x)\lim_{x \to -3^-} f(x) și lim⁡x→−3+f(x)\lim_{x \to -3^+} f(x) pentru asimptota verticală (se obține ±∞\pm \infty, deci x=−3x = -3 este asimptotă verticală); lim⁡x→±∞f(x)x\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} și lim⁡x→±∞(f(x)−mx)\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) pentru asimptota oblică.
23 puncte
Găsirea ecuației asimptotei oblice: m=lim⁡x→∞f(x)x=2m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 2, n=lim⁡x→∞(f(x)−2x)=−5n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - 2x) = -5, deci y=2x−5y = 2x - 5 este asimptotă oblică la ±∞\pm \infty.
33 puncte
Derivarea funcției: f′(x)=(4x+1)(x+3)−(2x2+x−1)(x+3)2=2x2+12x+4(x+3)2f'(x) = \frac{(4x+1)(x+3) - (2x^2+x-1)}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 12x + 4}{(x+3)^2}, studiul semnului derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,−3)∪(−3,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (-3, \infty) (cu excepția punctelor unde numitorul este zero), deci funcția este strict crescătoare pe intervalele sale de definiție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.