MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrie
Într-un patrulater inscriptibil ABCD, se cunosc lungimile laturilor: AB=5AB = 5, BC=12BC = 12, CD=8CD = 8, DA=15DA = 15. Folosind faptul că suma unghiurilor opuse este 180∘180^\circ și aplicând teorema cosinusurilor, calculați lungimile diagonalelor AC și BD.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
În triunghiul ABC, aplicăm teorema cosinusurilor: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡∠ABC=25+144−120cos⁡B=169−120cos⁡BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC = 25 + 144 - 120 \cos B = 169 - 120 \cos B. În triunghiul ADC, AC2=DA2+CD2−2⋅DA⋅CD⋅cos⁡∠ADC=225+64−240cos⁡D=289−240cos⁡DAC^2 = DA^2 + CD^2 - 2 \cdot DA \cdot CD \cdot \cos \angle ADC = 225 + 64 - 240 \cos D = 289 - 240 \cos D. Deoarece ABCD este inscriptibil, ∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ, deci cos⁡D=−cos⁡B\cos D = -\cos B.
23 puncte
Echivalăm expresiile pentru AC2AC^2: 169−120cos⁡B=289+240cos⁡B169 - 120 \cos B = 289 + 240 \cos B (deoarece cos⁡D=−cos⁡B\cos D = -\cos B). Rezolvăm: 169−289=120cos⁡B+240cos⁡B⇒−120=360cos⁡B⇒cos⁡B=−13169 - 289 = 120 \cos B + 240 \cos B \Rightarrow -120 = 360 \cos B \Rightarrow \cos B = -\frac{1}{3}. Atunci AC2=169−120⋅(−13)=169+40=209AC^2 = 169 - 120 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 169 + 40 = 209, deci AC=209AC = \sqrt{209}.
32 puncte
Pentru diagonala BD, în triunghiul ABD: BD2=AB2+DA2−2⋅AB⋅DA⋅cos⁡∠DAB=25+225−150cos⁡A=250−150cos⁡ABD^2 = AB^2 + DA^2 - 2 \cdot AB \cdot DA \cdot \cos \angle DAB = 25 + 225 - 150 \cos A = 250 - 150 \cos A. În triunghiul BCD: BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cos⁡∠BCD=144+64−192cos⁡C=208−192cos⁡CBD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD = 144 + 64 - 192 \cos C = 208 - 192 \cos C. Deoarece ∠DAB+∠BCD=180∘\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ, avem cos⁡C=−cos⁡A\cos C = -\cos A.
42 puncte
Echivalăm: 250−150cos⁡A=208+192cos⁡A⇒250−208=150cos⁡A+192cos⁡A⇒42=342cos⁡A⇒cos⁡A=42342=757250 - 150 \cos A = 208 + 192 \cos A \Rightarrow 250 - 208 = 150 \cos A + 192 \cos A \Rightarrow 42 = 342 \cos A \Rightarrow \cos A = \frac{42}{342} = \frac{7}{57}. Atunci BD2=250−150⋅757=250−105057=1425057−105057=1320057=440019BD^2 = 250 - 150 \cdot \frac{7}{57} = 250 - \frac{1050}{57} = \frac{14250}{57} - \frac{1050}{57} = \frac{13200}{57} = \frac{4400}{19}, deci BD=440019=201119=2020919BD = \sqrt{\frac{4400}{19}} = \frac{20\sqrt{11}}{\sqrt{19}} = \frac{20\sqrt{209}}{19}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.