MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie Analitică
În sistemul de coordonate carteziene, se consideră punctele A(0,0) și B(4,0). Punctul C este astfel încât ∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ și AC=5AC = 5. Determinați coordonatele punctului C și aria triunghiului ABC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem ecuațiile din condițiile date. Din AC=5AC = 5: x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. Din ∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ, folosind produsul scalar: vectorii BA⃗=(−4,0)\vec{BA} = (-4,0) și BC⃗=(x−4,y)\vec{BC} = (x-4, y). Cosinusul unghiului: cos⁡45∘=BA⃗⋅BC⃗∣BA⃗∣∣BC⃗∣=(−4)(x−4)+0⋅y4⋅(x−4)2+y2=12\cos 45^\circ = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(-4)(x-4) + 0 \cdot y}{4 \cdot \sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Simplificăm: −(x−4)(x−4)2+y2=12\frac{-(x-4)}{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
24 puncte
Rezolvăm sistemul. Din a doua ecuație, ridicând la pătrat: (x−4)2+y2=2(x−4)2(x-4)^2 + y^2 = 2(x-4)^2, deci y2=(x−4)2y^2 = (x-4)^2. Înlocuim în prima: x2+(x−4)2=25x^2 + (x-4)^2 = 25, deci 2x2−8x+16=252x^2 - 8x + 16 = 25, 2x2−8x−9=02x^2 - 8x -9 = 0. Soluțiile: x=4±342x = \frac{4 \pm \sqrt{34}}{2}. Din condiția x−4<0x-4 < 0 (pentru radical pozitiv), alegem x=4−342x = \frac{4 - \sqrt{34}}{2}. Atunci y2=(x−4)2=(4−342−4)2=(−4−342)2=(4+34)24y^2 = (x-4)^2 = \left(\frac{4 - \sqrt{34}}{2} - 4\right)^2 = \left(\frac{-4 - \sqrt{34}}{2}\right)^2 = \frac{(4+\sqrt{34})^2}{4}, deci y=±4+342y = \pm \frac{4+\sqrt{34}}{2}.
33 puncte
Aria triunghiului: A=12⋅AB⋅∣yC∣A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot |y_C|. AB=4AB = 4, ∣yC∣=4+342|y_C| = \frac{4+\sqrt{34}}{2}, deci A=12⋅4⋅4+342=4+342A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4+\sqrt{34}}{2} = \frac{4+\sqrt{34}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.