MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorAsimptoteMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−4x+5)f(x) = e^{-x} (x^2 - 4x + 5). a) Determinați asimptotele graficului funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem local ale funcției. c) Calculați f′′(x)f''(x) și stabiliți intervalele de convexitate/concavitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 (asimptotă orizontală y=0y=0 către +∞+\infty) și lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty (nu există asimptotă orizontală către −∞-\infty); se verifică lim⁡x→∞f(x)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 și lim⁡x→∞(f(x)−0⋅x)=0\lim_{x \to \infty} (f(x) - 0 \cdot x) = 0, deci nu există asimptotă oblică.
24 puncte
Se derivează f(x)f(x): f′(x)=−e−x(x2−4x+5)+e−x(2x−4)=e−x(−x2+6x−9)f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 4x + 5) + e^{-x}(2x - 4) = e^{-x}(-x^2 + 6x - 9). Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, adică −x2+6x−9=0-x^2 + 6x - 9 = 0, cu soluția x=3x=3 (dublă). Se studiază semnul: f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x≠3x \neq 3, deci funcția este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}, fără extreme locale.
33 puncte
Se calculează f′′(x)=e−x(x2−8x+14)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 8x + 14). Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0: x2−8x+14=0x^2 - 8x + 14 = 0, cu rădăcinile x=4±2x = 4 \pm \sqrt{2}. Se analizează semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−∞,4−2)(-\infty, 4-\sqrt{2}) și (4+2,∞)(4+\sqrt{2}, \infty) (convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (4−2,4+2)(4-\sqrt{2}, 4+\sqrt{2}) (concavă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.