MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+px+qx−2,daca˘ x≠2r,daca˘ x=2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + px + q}{x-2}, & \text{dacă } x \neq 2 \\ r, & \text{dacă } x = 2 \end{cases}. a) Determinați p,q∈Rp, q \in \mathbb{R} astfel încât ff să aibă o discontinuitate evitabilă în x=2x=2. b) Pentru valorile găsite, determinați rr astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a avea o discontinuitate evitabilă în x=2x=2, limita lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x) trebuie să existe. Aceasta necesită ca numărătorul să se anuleze în x=2x=2, adică 22+p⋅2+q=02^2 + p\cdot2 + q = 0, deci 4+2p+q=04 + 2p + q = 0.
23 puncte
Dacă 4+2p+q=04+2p+q=0, atunci x2+px+q=(x−2)(x+k)x^2 + px + q = (x-2)(x+k) pentru un k∈Rk \in \mathbb{R}. Prin identificare, p=k−2p = k-2 și q=−2kq = -2k. Limita devine lim⁡x→2(x−2)(x+k)x−2=lim⁡x→2(x+k)=2+k\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+k)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+k) = 2+k.
33 puncte
Pentru ca ff să fie continuă pe R\mathbb{R}, definim r=2+kr = 2+k. Așadar, soluția este p=k−2p = k-2, q=−2kq = -2k, r=2+kr = 2+k pentru orice k∈Rk \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.