MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R} definită prin f(x)=ln⁡(x2−1)x−2f(x) = \frac{\ln(x^2 - 1)}{x - 2}. Determinați domeniul de definiție DD și asimptotele funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul de definiție se obține din condițiile x2−1>0x^2 - 1 > 0 și x−2≠0x - 2 \neq 0. Rezultă x<−1x < -1 sau x>1x > 1 și x≠2x \neq 2, deci D=(−∞,−1)∪(1,2)∪(2,∞)D = (-\infty, -1) \cup (1,2) \cup (2, \infty).
24 puncte
Asimptotele verticale apar în punctele unde funcția nu este definită și limitele sunt infinite. La x=−1x = -1: lim⁡x→−1−f(x)=+∞\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty (deoarece ln⁡(x2−1)→−∞\ln(x^2-1) \to -\infty și x−2<0x-2 < 0). La x=1x = 1: lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty (similar). La x=2x = 2: lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty și lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty (deoarece ln⁡(x2−1)→ln⁡(3)>0\ln(x^2-1) \to \ln(3) > 0 și semnul numitorului se schimbă). Deci asimptote verticale x=−1x=-1, x=1x=1, x=2x=2.
32 puncte
Asimptota orizontală: lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 (deoarece ln⁡(x2−1)\ln(x^2-1) crește mai lent decât xx), deci y=0y=0.
41 punct
Nu există asimptote oblice deoarece există asimptotă orizontală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.