MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăArii și volume
Un balon sferic se umflă astfel încât raza sa crește cu o viteză constantă de 2 cm/s. La un moment dat, raza este de 10 cm. a) Cu ce viteză se modifică volumul balonului în acel moment? b) Determinați momentul (în secunde de la începutul umflării) când viteza de creștere a volumului este egală cu 100π100\pi cm³/s, știind că la momentul t=0t=0, raza este de 5 cm.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scriem formula volumului sferei: V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3.
22 puncte
Derivăm volumul în raport cu timpul folosind regula lanțului: dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}.
32 puncte
Pentru a), substituim drdt=2\frac{dr}{dt} = 2 cm/s și r=10r=10 cm: dVdt=4π(10)2⋅2=800π\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 \cdot 2 = 800\pi cm³/s.
42 puncte
Pentru b), stabilim funcția razei în timp: r(t)=5+2tr(t) = 5 + 2t, deoarece drdt=2\frac{dr}{dt}=2 cm/s constant și r(0)=5r(0)=5 cm.
53 puncte
Exprimăm dVdt\frac{dV}{dt} în funcție de tt: dVdt=4π(5+2t)2⋅2=8π(5+2t)2\frac{dV}{dt} = 4\pi (5+2t)^2 \cdot 2 = 8\pi (5+2t)^2. Setăm 8π(5+2t)2=100π8\pi (5+2t)^2 = 100\pi, deci (5+2t)2=12.5(5+2t)^2 = 12.5. Rezolvăm ecuația: 5+2t=12.55+2t = \sqrt{12.5} (considerăm t>0t>0), de unde t=12.5−52t = \frac{\sqrt{12.5}-5}{2} secunde.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.