MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivate
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−2x+1x2f(x) = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2}. a) Determinați asimptotele verticale și orizontale ale funcției ff. b) Arătați că funcția ff admite o asimptotă oblică și determinați ecuația acesteia. c) Studiați semnul derivatei funcției ff și determinați intervalele de monotonie.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0x3−2x+1x2=∞\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} = \infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală. lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞x3−2x+1x2=±∞\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} = \pm \infty, deci nu există asimptotă orizontală.
24 puncte
Pentru asimptotă oblică, m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3−2x+1x3=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 2x + 1}{x^3} = 1. n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=lim⁡x→±∞(x3−2x+1x2−x)=lim⁡x→±∞−2x+1x2=0n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} - x \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x + 1}{x^2} = 0. Deci asimptota oblică este y=xy = x.
33 puncte
Derivata f′(x)=ddx(x3−2x+1x2)=x3+2x−2x3f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} \right) = \frac{x^3 + 2x - 2}{x^3}. Se studiază semnul numărătorului g(x)=x3+2x−2g(x) = x^3 + 2x - 2; gg este strict crescătoare (g′(x)=3x2+2>0g'(x) = 3x^2 + 2 > 0) și are o rădăcină a∈(0.5,1)a \in (0.5, 1). Astfel, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>ax > a și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<ax < a, x≠0x \neq 0. Deci ff este descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și (0,a)(0, a), și crescătoare pe (a,+∞)(a, +\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.