MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul I
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definită prin f(x)={ax+bx2−4,daca˘ x<2c,daca˘ x=2x−2+d,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax + b}{x^2 - 4}, & \text{dacă } x < 2 \\ c, & \text{dacă } x = 2 \\ \sqrt{x-2} + d, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Determinați numerele reale a,b,c,da, b, c, d pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se studiază continuitatea în x=2x=2. Se calculează lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−ax+bx2−4\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{ax+b}{x^2-4}, lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(x−2+d)\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (\sqrt{x-2} + d) și f(2)=cf(2)=c.
23 puncte
Se impun condițiile de continuitate: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2). Pentru x→2−x \to 2^-, numitorul x2−4→0x^2-4 \to 0, deci trebuie ca ax+bax+b să se anuleze în x=2x=2 pentru a exista limită finită, adică 2a+b=02a+b=0.
32 puncte
Cu 2a+b=02a+b=0, limita stângă devine lim⁡x→2−a(x−2)(x−2)(x+2)=a4\lim_{x \to 2^-} \frac{a(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{a}{4}. Limita dreaptă este 2−2+d=d\sqrt{2-2}+d = d. Se obține sistemul: a4=d=c\frac{a}{4} = d = c.
42 puncte
Din 2a+b=02a+b=0 și a4=d=c\frac{a}{4} = d = c, alegând a=4ka=4k, rezultă d=c=kd=c=k, b=−8kb=-8k, cu k∈Rk \in \mathbb{R}. Pentru orice k∈Rk \in \mathbb{R}, funcția este continuă pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.