MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1xf(x) = \ln x + \frac{1}{x}. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Studiați convexitatea funcției ff. c) Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, f(x)≥1f(x) \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=1x−1x2=x−1x2f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x-1}{x^2}. Determinarea semnului: pentru 0<x<10<x<1, f′(x)<0f'(x)<0, deci ff descrescătoare; pentru x>1x>1, f′(x)>0f'(x)>0, deci ff crescătoare. Punctul critic este x=1x=1, unde ff are minim.\
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=−1x2+2x3=2−xx3f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} = \frac{2-x}{x^3}. Determinarea semnului: pentru 0<x<20<x<2, f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă; pentru x>2x>2, f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă. Punctul de inflexiune este x=2x=2, f(2)=ln⁡2+12f(2)=\ln 2 + \frac{1}{2}.\
34 puncte
Pentru partea c), observăm că f(1)=ln⁡1+1=1f(1) = \ln 1 + 1 = 1. Din studiul monotoniei, ff are minim global la x=1x=1, deci pentru orice x>0x>0, f(x)≥f(1)=1f(x) \geq f(1) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.