MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. Determinați intervalele de monotonie și convexitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=2xe−x−x2e−x=xe−x(2−x)f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x). Studiați semnul: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0 sau x=2x=2. f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty), deci ff este crescătoare pe [0,2][0,2] și descrescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty).
24 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x(2−4x+x2)=e−x(x2−4x+2)f''(x) = e^{-x} (2 - 4x + x^2) = e^{-x} (x^2 - 4x + 2). Rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0: x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 dă x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(−∞,2−2)∪(2+2,∞)x \in (-\infty, 2-\sqrt{2}) \cup (2+\sqrt{2}, \infty) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(2−2,2+2)x \in (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}), deci ff este convexă pe (−∞,2−2]∪[2+2,∞)(-\infty, 2-\sqrt{2}] \cup [2+\sqrt{2}, \infty) și concavă pe [2−2,2+2][2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}].
32 puncte
Punctele x=2−2x=2-\sqrt{2} și x=2+2x=2+\sqrt{2} sunt puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.