MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Demonstrați că pentru orice numere naturale nn și mm cu n≥mn \geq m, are loc identitatea ∑k=0nCnkCkm=Cnm2n−m\sum_{k=0}^{n} C_n^k C_k^m = C_n^m 2^{n-m}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Interpretați termenul CnkCkmC_n^k C_k^m ca numărul de moduri de a alege o submulțime de kk elemente dintr-o mulțime cu nn elemente și apoi o submulțime de mm elemente din acea submulțime.
24 puncte
Folosind o metodă combinatorială, arătați că ambele părți ale identității numără același lucru: numărul de moduri de a alege o submulțime de mm elemente din cele nn și apoi, pentru fiecare din cele n−mn-m elemente rămase, a decide dacă sunt incluse într-o a doua selecție independentă, ceea ce dă Cnm⋅2n−mC_n^m \cdot 2^{n-m}.
33 puncte
Verificați consistența identității pentru cazuri particulare, cum ar fi m=0m=0 sau m=nm=n, și observați că suma devine ∑k=0nCnk=2n\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n pentru m=0m=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.