MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x+ay−z=1x−y+3z=23x+2y+bz=4\begin{cases} 2x + ay - z = 1 \\ x - y + 3z = 2 \\ 3x + 2y + bz = 4 \end{cases}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Să se determine valorile lui aa și bb pentru care sistemul are soluție unică. Pentru a=1a=1 și b=0b=0, să se rezolve sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului sub formă matriceală: Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, unde A=(2a−11−1332b)A = \begin{pmatrix} 2 & a & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & b \end{pmatrix}, x⃗=(xyz)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, b⃗=(124)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculul determinantului matricei AA: det⁡(A)=2(−b−6)−a(b−9)−1(2+3)=−ab+9a−2b−17\det(A) = 2(-b -6) - a(b -9) -1(2 +3) = -ab + 9a -2b -17.
32 puncte
Condiția pentru soluție unică: det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică −ab+9a−2b−17≠0-ab + 9a -2b -17 \neq 0.
43 puncte
Pentru a=1a=1 și b=0b=0, det⁡(A)=−1⋅0+9⋅1−2⋅0−17=−8≠0\det(A) = -1\cdot0 + 9\cdot1 -2\cdot0 -17 = -8 \neq 0. Se calculează soluția cu regula lui Cramer: det⁡(Ax)=∣11−12−13420∣=1⋅(−1⋅0−3⋅2)−1⋅(2⋅0−3⋅4)+(−1)⋅(2⋅2−(−1)⋅4)=−6−(−12)−8=−2\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1\cdot0 - 3\cdot2) - 1\cdot(2\cdot0 - 3\cdot4) + (-1)\cdot(2\cdot2 - (-1)\cdot4) = -6 - (-12) - 8 = -2, det⁡(Ay)=∣21−1123340∣=2⋅(2⋅0−3⋅4)−1⋅(1⋅0−3⋅3)+(−1)⋅(1⋅4−2⋅3)=−24−(−9)−(−2)=−13\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot(2\cdot0 - 3\cdot4) - 1\cdot(1\cdot0 - 3\cdot3) + (-1)\cdot(1\cdot4 - 2\cdot3) = -24 - (-9) - (-2) = -13, det⁡(Az)=∣2111−12324∣=2⋅(−1⋅4−2⋅2)−1⋅(1⋅4−2⋅3)+1⋅(1⋅2−(−1)⋅3)=−16−(−2)+5=−9\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1\cdot4 - 2\cdot2) - 1\cdot(1\cdot4 - 2\cdot3) + 1\cdot(1\cdot2 - (-1)\cdot3) = -16 - (-2) + 5 = -9. Atunci x=−2−8=14x = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}, y=−13−8=138y = \frac{-13}{-8} = \frac{13}{8}, z=−9−8=98z = \frac{-9}{-8} = \frac{9}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.