MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie mulțimile M={z∈C∣∣z∣≤2}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq 2 \} și N={z∈C∣Re(z)≥1}N = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) \geq 1 \}. a) Descrieți geometric și algebric mulțimile M∩NM \cap N și M∪NM \cup N. b) Dacă P={z∈C∣z2∈R}P = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^2 \in \mathbb{R} \}, determinați (M∩N)∩P(M \cap N) \cap P.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea mulțimilor: MM este discul închis de rază 2 centrat în origine în planul complex, iar NN este semiplanul drept definit de {x+iy∣x≥1}\{ x+iy \mid x \geq 1 \}.\n
23 puncte
Determinarea intersecției M∩NM \cap N: algebric, M∩N={x+iy∣x2+y2≤4 și x≥1}M \cap N = \{ x+iy \mid x^2 + y^2 \leq 4 \text{ și } x \geq 1 \}; geometric, este partea din disc cu abscisa cel puțin 1.\n
32 puncte
Determinarea reuniunii M∪NM \cup N: M∪N={z∈C∣∣z∣≤2 sau Re(z)≥1}M \cup N = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq 2 \text{ sau } \text{Re}(z) \geq 1 \}, descrisă ca reuniunea discului și semiplanului.\n
43 puncte
Determinarea mulțimii PP: z2∈Rz^2 \in \mathbb{R} implică Im(z2)=0\text{Im}(z^2)=0, adică pentru z=x+iyz=x+iy, 2xy=02xy=0, deci x=0x=0 sau y=0y=0; astfel P={x+iy∣x=0 sau y=0}P = \{ x+iy \mid x=0 \text{ sau } y=0 \}. Apoi, (M∩N)∩P(M \cap N) \cap P: din x≥1x \geq 1, x=0x=0 este imposibil, deci y=0y=0 cu x2≤4x^2 \leq 4 și x≥1x \geq 1, adică x∈[1,2]x \in [1,2]; deci (M∩N)∩P={x∈R∣1≤x≤2}(M \cap N) \cap P = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x \leq 2 \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.