MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi): {sin⁡x+sin⁡y=2cos⁡x+cos⁡y=1\begin{cases} \sin x + \sin y = \sqrt{2} \\ \cos x + \cos y = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se aplică formulele pentru suma sinusurilor și cosinusurilor: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). Sistemul devine {2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=22cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=1\begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \end{cases}.
24 puncte
Se împarte prima ecuație la a doua (cu condiția cos⁡(x−y2)≠0\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \neq 0), obținând tan⁡(x+y2)=2\tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = \sqrt{2}. Atunci x+y2=arctan⁡(2)+kπ\frac{x+y}{2} = \arctan(\sqrt{2}) + k\pi pentru k∈Zk \in \mathbb{Z}. Din a doua ecuație, 2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=12 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 1, se exprimă cos⁡(x−y2)=12cos⁡(x+y2)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)}.
33 puncte
Se consideră α=arctan⁡(2)\alpha = \arctan(\sqrt{2}), cu sin⁡α=23\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} și cos⁡α=13\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} (pentru α\alpha în primul cadran). Atunci cos⁡(x−y2)=32\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci x−y2=±π6+2mπ\frac{x-y}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2m\pi pentru m∈Zm \in \mathbb{Z}. Rezultă x=α±π6x = \alpha \pm \frac{\pi}{6} și y=α∓π6y = \alpha \mp \frac{\pi}{6}, iar se selectează soluțiile în [0,2π)[0, 2\pi) ajustând constantele.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.