MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Fie triunghiul ABC cu laturile a=BC=7a = BC = 7, b=CA=8b = CA = 8, c=AB=5c = AB = 5. a) Utilizând teorema cosinusurilor, calculați măsura unghiului A. b) Determinați lungimea bisectoarei interioare din unghiul A. c) Calculați raza cercului înscris în triunghi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm teorema cosinusurilor: cos⁡A=b2+c2−a22bc=82+52−722⋅8⋅5=64+25−4980=4080=12\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{64 + 25 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}. Deci A=60∘A = 60^\circ, deoarece cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} și A∈(0,π)A \in (0, \pi).\n
23 puncte
Lungimea bisectoarei din A se calculează cu formula lA=2bccos⁡A2b+c=2⋅8⋅5⋅cos⁡30∘8+5=80⋅3213=40313l_A = \frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ}{8+5} = \frac{80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{13} = \frac{40\sqrt{3}}{13}.\n
33 puncte
Pentru raza cercului înscris, folosim r=Asr = \frac{A}{s}, unde ss este semiperimetrul și AA aria triunghiului. Semipermietrul s=a+b+c2=7+8+52=10s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+5}{2} = 10. Aria A=12bcsin⁡A=12⋅8⋅5⋅sin⁡60∘=20⋅32=103A = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}. Astfel, r=10310=3r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.