MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciGeometrie Analitică
Consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {x+y+z=12x+y+mz=2x+my+z=m\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + mz = 2 \\ x + my + z = m \end{cases}. a) Discută sistemul în funcție de mm. b) Pentru m=1m=1, rezolvă sistemul și descrie geometric mulțimea soluțiilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculează determinantul matricei coeficienților: Δ=∣11121m1m1∣=1⋅(1⋅1−m⋅m)−1⋅(2⋅1−m⋅1)+1⋅(2⋅m−1⋅1)=1−m2−2+m+2m−1=−m2+3m−2=−(m−1)(m−2)\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - m \cdot m) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - m \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot m - 1 \cdot 1) = 1 - m^2 - 2 + m + 2m - 1 = -m^2 + 3m - 2 = -(m-1)(m-2).
23 puncte
Pentru m≠1m \neq 1 și m≠2m \neq 2, Δ≠0\Delta \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Folosește regula lui Cramer pentru a găsi soluția: x=ΔxΔ,y=ΔyΔ,z=ΔzΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}, unde Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z se calculează înlocuind coloanele.
32 puncte
Pentru m=1m=1, Δ=0\Delta = 0. Sistemul devine {x+y+z=12x+y+z=2x+y+z=1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}. Din prima și a treia ecuație, x+y+z=1x+y+z=1, iar din a doua, 2x+y+z=22x+y+z=2. Scăzând, obținem x=1x=1, apoi y+z=0y+z=0, deci soluțiile sunt (1,t,−t)(1, t, -t) cu t∈Rt \in \mathbb{R}, o dreaptă în spațiu.
42 puncte
Pentru m=2m=2, Δ=0\Delta = 0. Sistemul este {x+y+z=12x+y+2z=2x+2y+z=2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ x + 2y + z = 2 \end{cases}. Se verifică că matricea extinsă are rangul 3, iar matricea coeficienților are rangul 2, deci sistemul este incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.